कैलकुलस उदाहरण

$e^{3 x} d x$

चरण 1

$e^{3 x} d x$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{3 x} d x$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int e^{3 x} d x d x$

चरण 4

चूँकि $d$ बटे $x$ अचर है, $d$ को समाकलन से हटा दें.

$d \int e^{3 x} x d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{3 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$d (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$d (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{e^{3 x}}{3}$ को मिलाएं.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

चरण 6.3

$\frac{1}{3}$ और $e^{3 x}$ को मिलाएं.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

चरण 8

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

चरण 9

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

चरण 11.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

चरण 13

$d (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ को $d (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$d (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$d (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

चरण 15

उत्तर फलन $f (x) = e^{3 x} d x$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $d (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$