कैलकुलस उदाहरण

$6 \sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$ को ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \frac{1}{x} + 8 x^{4}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ के रूप में सेट करें.

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ से बदलें.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$6 (\frac{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$6 (\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

चरण 10

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ और $6$ को मिलाएं.

$\frac{6}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

चरण 11

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

चरण 12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

चरण 12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

चरण 12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

चरण 13

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ है.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

चरण 14

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

चरण 15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

चरण 16

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x^{4}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

चरण 17

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 (4 x^{3}))$

चरण 18

$4$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 32 x^{3})$

चरण 19

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$

चरण 19.2

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.1

$8 x^{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + \frac{8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3.3

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.3.1

$x$ ले जाएं.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x \cdot x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3.3.2

$x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.3.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x^{1} x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{1 + 4}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3.3.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{5}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.3.4

उत्पाद नियम को $\frac{1 + 8 x^{5}}{x}$ पर लागू करें.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{\frac{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}$

चरण 19.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 19.5

$3$ और $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.6

$- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}$ को $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.7.1

$32 x^{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{32 x^{3} x^{2}}{x^{2}}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{3} x^{2}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.3

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.7.3.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{- 1 + 32 (x^{2} x^{3})}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{2 + 3}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.3.3

$2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.4

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.7.4.1

$\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}} x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.4.2

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}}$ और $x^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.5

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.7.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.7.5.1.1

$(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.5.1.2

$1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.5.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.5.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.5.2

$(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{- \frac{3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.7

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.7.8

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.8

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ में से $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.9

$\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ को $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{3 (- 1 + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.10

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- 1 (1) + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.11

$32 x^{5}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (1) - (- 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.12

$- 1 (1) - (- 32 x^{5})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- 1 (1 - 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 (1 - 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$