कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d}{d x} (\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x^{2}$ और $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

घातांक को ${({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

चरण 2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

चरण 2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 2.4

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 2.6

$2$ को ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{3}{2}$ है.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 7.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 8

$\frac{3}{2}$ और ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 10

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 11

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 12

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 13

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 1 (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 13.2

$1 + x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 14

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 15

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$2$ और $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 15.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 15.3

$x$ और $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 15.4

$x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 16

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 16.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 16.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 16.4

$x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.2.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.2.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x^{1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.2.1.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2 + 1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.2.1.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{3}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.2.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

चरण 17.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$