कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2} + 2$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.2

$2$ को $2 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.10.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2.10.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.1.4

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4.2

$4 x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1

$2 x^{2} - 2 x - 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.1.1

$2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.1.2

$- 2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.1.3

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.1.4

$2 (x^{2}) + 2 (- x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.1.5

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.5.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 2$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 2, 1$

चरण 1.1.3.5.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ है.

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 2.3.2

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 2.3.3

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 1$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2 x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 1 = 0$

चरण 3.2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 x = 1$

चरण 3.2.2.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 2$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

चरण 4.1.2.1.2

$4$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

चरण 4.1.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6}{4 - 1}$

चरण 4.1.2.2.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{6}{3}$

चरण 4.1.2.3

$6$ को $3$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 4.2

$x = - 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

चरण 4.2.2.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

चरण 4.2.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3}{- 2 - 1}$

चरण 4.2.2.2.2

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{3}{- 3}$

चरण 4.2.2.3

$3$ को $- 3$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 4.3

$x = \frac{1}{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$\frac{1}{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

चरण 4.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

चरण 4.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

चरण 4.3.2.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

चरण 4.3.2.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 4.4

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(2, 2), (- 1, - 1)$

चरण 5