कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$

चरण 1

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$ को $e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$

चरण 1.2

$\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 2.2

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = \sqrt{x^{2}}$ है.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4.2

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 4.4

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 5

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$e^{\frac{0 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 6

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 7

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 8

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 9

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 10

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 10.2

लघुगणक के अंदर की सीमा को स्थानांतरित करें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + x}{2 + x})}$

चरण 11

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x$ है.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

चरण 12

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

चरण 12.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

चरण 12.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

चरण 12.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + 1})}$

चरण 12.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

चरण 12.4

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

चरण 13

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

चरण 14

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

चरण 14.2

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

चरण 14.3

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

चरण 15

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1})}$

चरण 16

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0^{2}}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$e^{\frac{0 - 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2.1.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$e^{\frac{0 + 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2.1.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$e^{\frac{0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{\frac{0}{0 - 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$e^{\frac{0}{- 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2.3

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$e^{0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

चरण 16.2.4

$0$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})$ को सरल करें.

$e^{\ln ({(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0})}$

चरण 16.2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

${(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

चरण 16.2.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

${(\frac{1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

चरण 16.2.7

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.7.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

${(\frac{1}{0 + 1})}^{0}$

चरण 16.2.7.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

${(\frac{1}{1})}^{0}$

चरण 16.2.8

$1$ को $1$ से विभाजित करें.

$1^{0}$

चरण 16.2.9

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1$