कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{5 x^{2} + 3 x}$

चरण 1

$\sqrt{5 x^{2} + 3 x}$ को ${(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 5 x^{2} + 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x^{2} + 3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x^{2} + 3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(5 x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.6.2

$\frac{1}{2}$ और ${(5 x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(5 x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(5 x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 x]$

चरण 4.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{2} + 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

चरण 4.8

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

चरण 4.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

चरण 4.10

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

चरण 4.11

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 3 \cdot 1)$

चरण 4.13

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 3)$

चरण 4.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

$\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (10 x + 3)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(10 x + 3) \frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.14.2

$10 x + 3$ को $\frac{1}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{10 x + 3}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{10 x + 3}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x + 3}{2 {(5 x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$