कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

चरण 1

मान लीजिए $u = t + 1$ . फिर $d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = t + 1$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$t + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ है.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

चरण 1.1.4

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u = t + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 1$

चरण 1.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u = t + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

चरण 1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = x^{2} + 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

चरण 2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3

$(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.4

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.6

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.8

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.9

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 3.10

$- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ और $2 u^{- \frac{1}{2}}$ जोड़ें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

चरण 3.11

$2 u^{\frac{1}{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

चरण 6

$\frac{2}{3}$ और $u^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x^{2} + 2$ पर और $2$ पर $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 7.2.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

चरण 7.2.1.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

चरण 7.2.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

चरण 7.2.1.4

$2$ और $3$ जोड़ें.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

चरण 7.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

चरण 7.2.3

$2$ और $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

चरण 8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

चरण 9.2

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$2$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

चरण 9.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

चरण 9.2.3

$\frac{4}{3}$ और ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

चरण 9.3

$\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$\frac{2}{3}$ और $2^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

चरण 9.3.2

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{\frac{5}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$2$ को $2^{\frac{5}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

चरण 9.3.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

चरण 9.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

चरण 9.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

चरण 9.3.2.4

$2$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

चरण 9.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$