कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

चरण 3

$\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ को $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ में बदलें.

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 4 x - \frac{π}{3}$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$4 x - \frac{π}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - \frac{π}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

चरण 4.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

चरण 4.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

चरण 4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{3}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 4.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

चरण 5

$\csc^{2} (u)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

चरण 7

चूंकि $- \cot (u)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (u)$ है, $\csc^{2} (u)$ का समाकलन $- \cot (u)$ है.

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सरल करें.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

चरण 8.2

$\frac{1}{4}$ और $\cot (u)$ को मिलाएं.

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

चरण 9

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x - \frac{π}{3}$ से बदलें.

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

चरण 10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

चरण 11

उत्तर फलन $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$