कैलकुलस उदाहरण

$y = x + 4 \sqrt{x + 2}$

चरण 1

अवकलन करें.

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चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4 \sqrt{x + 2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

$\sqrt{x + 2}$ को ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$1 + \frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$1 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + 2$ है.

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चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 2$ के रूप में सेट करें.

$1 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$1 + 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

चरण 2.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

चरण 2.5

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

चरण 2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

चरण 2.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

चरण 2.8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

चरण 2.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

चरण 2.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 2.10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

चरण 2.10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

चरण 2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

चरण 2.12

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

चरण 2.13

$\frac{1}{2}$ और ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$1 + 4 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

चरण 2.14

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 4 \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 2.15

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$1 + 4 \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.16

$4$ और $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$1 + \frac{4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.17

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.18

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 2.18.1

$2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 2.18.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2.18.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + \frac{2}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$