कैलकुलस उदाहरण

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

चरण 1

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = 1 + e^{- x}$ .फिर $d u_{2} = - e^{- x} d x$ , तो $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$1 + e^{- x}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

चरण 4.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 4.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 4.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 4.1.3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 4.1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 4.1.3.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 4.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 - e^{- x}$

चरण 4.1.4

$0$ में से $e^{- x}$ घटाएं.

$- e^{- x}$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 5

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 7

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

चरण 8

सरल करें.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

चरण 9

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{- x}$ से बदलें.

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

चरण 10

उत्तर फलन $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$