कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\sqrt{4 + 6 x^{3}}}{\cos^{3} (x)}$

चरण 1

$\sqrt{4 + 6 x^{3}}$ को ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ को $\sec^{3} (x)$ में बदलें.

$\frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x)]$

चरण 4.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \sec^{3} (x)$ है.

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \sec (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sec (x)$ के रूप में सेट करें.

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sec (x)$ से बदलें.

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.4

$3$ को ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.5

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.6

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.8

$1$ और $2$ जोड़ें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.9

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 4 + 6 x^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $4 + 6 x^{3}$ के रूप में सेट करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.9.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.9.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 + 6 x^{3}$ से बदलें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.10

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.11

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.13.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.14

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.14.2

$\frac{1}{2}$ और ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.14.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

चरण 4.14.4

$\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ और $\sec^{3} (x)$ को मिलाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}]$

चरण 4.15

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 + 6 x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ है.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

चरण 4.16

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

चरण 4.17

$0$ और $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ जोड़ें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$

चरण 4.18

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{3}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

चरण 4.19

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.19.1

$6$ और $\frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{6 \sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 4.19.2

$6 \sec^{3} (x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 4.20

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.20.1

$2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 ({(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 4.20.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 4.20.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 4.21

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

चरण 4.22

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.22.1

$3$ और $\frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 (3 \sec^{3} (x))}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

चरण 4.22.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

चरण 4.22.3

$\frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.23

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.23.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$

चरण 4.23.2

गुणनखंडों को $\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$