कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

चरण 1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

चरण 2

$x^{3}$ को $x^{2} - 4$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 2.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

चरण 2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 0 - 4 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

चरण 2.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

चरण 2.6

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

चरण 2.7

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

चरण 5

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

चरण 6

मान लीजिए $u = x^{2} - 4$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = x^{2} - 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{2} - 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

चरण 6.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

चरण 6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 6.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

चरण 7.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

चरण 7.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 9.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 9.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 9.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 9.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 10

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

चरण 11

सरल करें.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 4$ से बदलें.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

चरण 13.2

$2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

चरण 13.3

$2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

चरण 13.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

चरण 13.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

चरण 13.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

चरण 13.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$