कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x + 1}{2 x + 3}$

चरण 1

$\frac{x + 1}{2 x + 3}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 3}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{x + 1}{2 x + 3} d x$

चरण 4

$x + 1$ को $2 x + 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$3$

$x$

$1$

चरण 4.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$

चरण 4.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			+	$x$	+	$\frac{3}{2}$

चरण 4.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + \frac{3}{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			-	$x$	-	$\frac{3}{2}$

चरण 4.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x$	+	$1$
			-	$x$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

चरण 4.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{2} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} x + C + \int - \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} x + C - \int \frac{1}{2 (2 x + 3)} d x$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} x + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 3} d x)$

चरण 9

मान लीजिए $u = 2 x + 3$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 2 x + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 9.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 9.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 9.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 9.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 9.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 10.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 12.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} x + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

चरण 14

सरल करें.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 3 |) + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 3}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \ln (| 2 x + 3 |) + C$