कैलकुलस उदाहरण

$x \ln (x^{2} + 4 x)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x^{2} + 4 x)$ है.

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 4 x)] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + 4 x$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 4 x$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 4 x$ से बदलें.

$x (\frac{1}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$\frac{1}{x^{2} + 4 x}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ है.

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \cdot 1) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.6

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.7

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \cdot 1$

चरण 3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.8.1

$\ln (x^{2} + 4 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x)$

चरण 3.8.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(2 x + 4) \frac{x}{x^{2} + 4 x} + \ln (x^{2} + 4 x)$