कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 6 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 6 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $6 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $6 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$36$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$36$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 36 \sin^{2} (t)$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ में से $36$ का गुणनखंड करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$36 \cos^{2} (t)$ को ${(6 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

$6 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

चरण 2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

चरण 3

चूँकि $6$ बटे $t$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

चरण 4

$t$ के संबंध में $\sin (t)$ का इंटीग्रल $- \cos (t)$ है.

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{π}{6}$ पर और $0$ पर $- \cos (t)$ का मान ज्ञात करें.

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

चरण 5.2.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

चरण 5.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

चरण 5.3.2.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

चरण 5.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

चरण 5.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

चरण 5.3.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

चरण 5.3.4

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 \sqrt{3} + 6$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

दशमलव रूप:

$0.80384757 \dots$