कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 4

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = - 2 x$ .फिर $d u_{1} = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = - 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 6.2

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 7

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 8

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 10.2

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 10.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 10.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 10.2.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 11

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

चरण 12

मान लीजिए $u_{2} = x - 1$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

मान लें $u_{2} = x - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 12.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 12.1.3

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 12.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 12.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 12.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ है.

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

चरण 14

सरल करें.

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

चरण 15.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$