कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

चरण 1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sin (\frac{1}{θ})$ और $\frac{1}{θ^{2}}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

चरण 1.2

$\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ और $\cos (\frac{1}{θ})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

चरण 2

मान लीजिए $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ .फिर $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ , तो $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.1

मान लें $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . $\frac{d u_{2}}{d θ}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.1.1

$\sin (\frac{1}{θ})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \sin (θ)$ और $g (θ) = \frac{1}{θ}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{1}{θ}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

चरण 2.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

चरण 2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{θ}$ से बदलें.

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$\frac{1}{θ}$ को $θ^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

चरण 2.1.4

सरल करें.

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चरण 2.1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

चरण 2.1.4.2

$\cos (\frac{1}{θ})$ और $\frac{1}{θ^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

चरण 2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int - u_{2} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int u_{2} d u_{2}$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 5

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (\frac{1}{θ})$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$