कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 6 x + 3$ .फिर $d u = 6 d x$ , तो $\frac{1}{6} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 6 x + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$6 x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 + 0$

चरण 5.1.4.2

$6$ और $0$ जोड़ें.

$6$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

चरण 6

$\sin (u)$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{6}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

चरण 8.2

$2$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

चरण 10

चूँकि $- 4$ बटे $x$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

चरण 12.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

चरण 12.2.2

$- 4$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

चरण 12.2.3

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

$- 4 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

चरण 12.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

चरण 12.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

चरण 12.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

चरण 12.2.3.2.4

$- 2 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $6 x + 3$ से बदलें.

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

चरण 15

उत्तर फलन $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$