कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

चरण 1

$t_{1}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

चरण 2

मान लीजिए $u = - s t$ .फिर $d u = - s d t$ , तो $- \frac{1}{s} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = - s t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- s t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [- s t]$

चरण 2.1.2

चूंकि $- s$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- s t$ का व्युत्पन्न $- s \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- s \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- s \cdot 1$

चरण 2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- s$

चरण 2.2

$t$ के लिए $u = - s t$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - s \cdot 0$

चरण 2.3

$- s \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 s$

चरण 2.3.2

$0$ को $s$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 2.4

$t$ के लिए $u = - s t$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - s t_{1}$

चरण 2.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

चरण 2.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

चरण 3.2

$\frac{1}{s}$ और $e^{u}$ को मिलाएं.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{s}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{s}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

चरण 7

$e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ और $\frac{1}{s}$ को मिलाएं.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- s t_{1}$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

चरण 8.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

चरण 9

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t_{1}$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

चरण 9.1.2

$\frac{1}{s}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t_{1}$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

चरण 9.1.3

जैसे-जैसे $t_{1}$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

चरण 9.2

चूँकि घातांक $- s t_{1}$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{- s t_{1}}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

चरण 9.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t_{1}$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 9.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

चरण 9.3.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

चरण 9.3.2.3

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{1}{s}$

चरण 9.3.2.3.2

$\frac{1}{s}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{s}$