कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $y$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

चरण 5

मान लीजिए $u = y + 8$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = y + 8$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$y + 8$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

चरण 5.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$y$ के लिए $u = y + 8$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 7 + 8$

चरण 5.3

$- 7$ और $8$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$y$ के लिए $u = y + 8$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 0 + 8$

चरण 5.5

$0$ और $8$ जोड़ें.

$u_{upper} = 8$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

चरण 6

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$0$ पर और $- 7$ पर $\frac{1}{2} y^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

चरण 8.2

$8$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.2

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.3

$- 7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.4

$49$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.5

$- 49$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.7

$0$ में से $\frac{49}{2}$ घटाएं.

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.8

$\frac{1}{7}$ को $\frac{49}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.9

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.10

$49$ और $14$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.10.1

$49$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.10.2.1

$14$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.11

$\frac{2}{3}$ और $8^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.12

$8$ को $2^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.13

घातांक को ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.13.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.13.2

$3 (\frac{3}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.13.2.1

$3$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.13.2.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.15

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.16

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.17

$2$ और $9$ जोड़ें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 8.3.18

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

चरण 8.3.19

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

चरण 8.3.20

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

चरण 8.3.21

$- \frac{7}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

चरण 8.3.22

$\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 8.3.23

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.23.1

$\frac{7}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 8.3.23.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 8.3.23.3

$\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

चरण 8.3.23.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

चरण 8.3.24

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

चरण 8.3.25

$- 7$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

चरण 8.3.26

$2$ को $2^{\frac{11}{2}} - 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 21$ को $- 1 (21)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

चरण 9.2

$2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

चरण 9.3

$- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

चरण 9.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

चरण 10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 10.2

$- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 10.2.2

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 10.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 10.2.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 10.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 10.2.6

$2$ और $11$ जोड़ें.

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 10.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

चरण 10.4

$21$ और $4$ जोड़ें.

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

दशमलव रूप:

$10.91827799 \dots$

चरण 12