कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\tan (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\tan (t)}{2}$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{2}$ और $\tan (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.2.2

$\frac{\tan (t)}{2}$ और $\sec (t)$ को मिलाएं.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.2.3

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.2.4

$\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.2.5

$\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ को $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

चरण 2.2.6

$2$ को $\tan (t) \sec (t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

चरण 2.2.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

चरण 2.2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

चरण 2.2.8

$\sec^{2} (t)$ और $\sec (t)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

$\sec^{2} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

चरण 2.2.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.2.1

$\tan (t) \sec (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

चरण 2.2.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

चरण 2.2.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

चरण 2.2.9

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (t)$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

चरण 2.2.10

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (t)$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

चरण 2.2.11

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

चरण 2.2.12

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.12.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

चरण 2.2.12.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

चरण 2.2.13

$\frac{1}{\sin (t)}$ को $\csc (t)$ में बदलें.

$\int \csc (t) d t$

चरण 3

$t$ के संबंध में $\csc (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ है.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

चरण 4

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (2 x)$ से बदलें.

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$