कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

चरण 4

मान लीजिए $u_{1} = \frac{x}{2}$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , तो $2 d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{1} = \frac{x}{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{x}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 4.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 4.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 4.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

चरण 5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

चरण 5.3

$2$ को $\sin^{2} (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

चूँकि $2$ बटे $u_{1}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 7

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 8

$\sin^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 10.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 10.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 10.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 10.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 11

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 12

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 14

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 14.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 14.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 14.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 14.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 15

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 16

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 17

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 18

सरल करें.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 19

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 19.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

चरण 19.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

चरण 20.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

चरण 20.1.2

$\sin (x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

चरण 20.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

चरण 20.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

चरण 20.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

चरण 20.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.1

$- \frac{\sin (x)}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

चरण 20.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

चरण 20.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x - \sin (x) + C$

चरण 21

उत्तर फलन $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$