कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{x}}{x}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 1.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

चरण 1.4.2

$e^{x} x - e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

चरण 1.4.2.2

$- e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

चरण 1.4.2.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

चरण 2.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x - 1$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.2

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.4.4.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.5

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

चरण 2.6.2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

चरण 2.6.2.2

$x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.1

$x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

चरण 2.6.2.2.2

$- 2 e^{x} (x - 1) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

चरण 2.6.2.2.3

$x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

चरण 2.7

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

चरण 2.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

चरण 2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

चरण 2.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

चरण 2.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

चरण 2.8.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.1

$x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.1.1

गुणनखंडों को $x e^{x}$ और $x (- 1 e^{x})$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

चरण 2.8.4.1.2

$e^{x} x$ में से $e^{x} x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

चरण 2.8.4.1.3

$x (x e^{x})$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

चरण 2.8.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.2.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.2.1.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

चरण 2.8.4.2.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

चरण 2.8.4.2.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

चरण 2.8.4.3

गुणनखंडों को $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

चरण 2.8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

चरण 2.8.6

गुणनखंडों को $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.2

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 4.1.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

चरण 4.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

चरण 4.1.4.2

$e^{x} x - e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.2.1

$e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

चरण 4.1.4.2.2

$- e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

चरण 4.1.4.2.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ है.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$e^{x} (x - 1) = 0$

चरण 5.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

चरण 5.3.2

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 5.3.2.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 5.3.2.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 5.3.3

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 5.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 5.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{x} (x - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{0}$

चरण 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

चरण 6.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 6.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 1$

चरण 8

$x = 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

चरण 9.1.2

$e^{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

चरण 9.1.3

सरल करें.

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

चरण 9.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

चरण 9.1.5

सरल करें.

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

चरण 9.1.6

सरल करें.

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

चरण 9.1.7

$e$ में से $2 e$ घटाएं.

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

चरण 9.1.8

$- e$ और $2 e$ जोड़ें.

$\frac{e}{1^{3}}$

चरण 9.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{e}{1}$

चरण 9.2.2

$e$ को $1$ से विभाजित करें.

$e$

चरण 10

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$e^{1}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (1) = e$

चरण 11.2.2

अंतिम उत्तर $e$ है.

$y = e$

चरण 12

ये $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(1, e)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13