कैलकुलस उदाहरण

$\ln (\frac{2 x - 1}{x - 1})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{2 x - 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

चरण 2

$\frac{2 x - 1}{x - 1}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

चरण 3

$\frac{x - 1}{2 x - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x - 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.6.2

$2$ को $x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 \cdot (x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.8

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.10.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.10.3

$\frac{x - 1}{2 x - 1}$ को $\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

चरण 6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

चरण 6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 2 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.3.1.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 2 - 2 x - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.3.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 2 - 2 x + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.3.2

$2 x - 2 - 2 x + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{0 - 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.3.2.2

$0$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{- 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.3.3

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

चरण 7.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{(2 x - 1) (x - 1)}$