कैलकुलस उदाहरण

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , तो $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

चरण 1.1.2

$\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ को ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{x^{2}}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x^{2}}{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 1.1.9

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

चरण 1.1.12

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.12.1

$2$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

चरण 1.1.12.2

$x$ और $\frac{2}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.12.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.12.4

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.12.4.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.12.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.12.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.12.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.12.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.1

आधार को उसके व्युत्क्रम के रूप में फिर से लिखकर घातांक के चिह्न को बदलें.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

चरण 1.1.13.2

उत्पाद नियम को $\frac{2}{x^{2}}$ पर लागू करें.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.13.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.1

घातांक को ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.1.13.3.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 1.1.13.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

चरण 1.1.13.3.2

सरल करें.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

चरण 1.1.13.3.3

$\frac{x}{2}$ को $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

चरण 1.1.13.3.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $2^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.13.3.5

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.5.1

$2^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

चरण 1.1.13.3.5.2

$2^{- \frac{1}{2}}$ को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.13.3.5.2.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

चरण 1.1.13.3.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

चरण 1.1.13.3.5.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

चरण 1.1.13.3.5.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

चरण 1.1.13.3.5.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

चरण 1.1.13.3.6

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

चरण 1.1.13.3.7

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

चरण 2.2

$2^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $2^{\frac{1}{2}}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2^{\frac{1}{2}}$ को समाकलन से हटा दें.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $2^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.3

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.3.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

चरण 7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$