कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x^{3} - 4)}^{4} \sin (3 x^{3})$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} - 4)}^{4} \sin (3 x^{3}))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(x^{3} - 4)}^{4}$ और $g (x) = \sin (3 x^{3})$ है.

${(x^{3} - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{3})] + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 3 x^{3}$ है.

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चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x^{3}$ के रूप में सेट करें.

${(x^{3} - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

${(x^{3} - 4)}^{4} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x^{3}$ से बदलें.

${(x^{3} - 4)}^{4} (\cos (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

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चरण 3.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{3}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (3 (3 x^{2})) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.3.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{4}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = x^{3} - 4$ है.

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चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{3} - 4$ के रूप में सेट करें.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{3} - 4$ से बदलें.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4])$

चरण 3.5

अवकलन करें.

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चरण 3.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

चरण 3.5.2

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]))$

चरण 3.5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + 0))$

चरण 3.5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.5.4.1

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2}))$

चरण 3.5.4.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

${(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) (9 x^{2}) + \sin (3 x^{3}) (12 {(x^{3} - 4)}^{3} x^{2})$

चरण 3.5.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{4} \cos (3 x^{3}) + 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3} \sin (3 x^{3})$