कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1 - \cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 - \cos (4 x)$ और $g (x) = \sin (4 x)$ है.

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \cos (4 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ है.

$\frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\sin (4 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ जोड़ें.

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos (4 x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ है.

$\frac{\sin (4 x) (- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\sin (4 x) (- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 4

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (4 x) (1 (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 4.2

$\sin (4 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (4 x) (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 5

$\sin (4 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 6

$\sin (4 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{{\sin (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 8

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 8.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 8.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \cdot 1) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 8.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\sin^{2} (4 x) \cdot 4 - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 8.4.2

$4$ को $\sin^{2} (4 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 9

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 9.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 9.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 10

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 10.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 10.3

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \cdot 1}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 10.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- \cos (4 x))) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cdot 1 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.1.2

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos (4 x) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.1.3

$4 \cos (4 x) \cos (4 x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1.3.1

$\cos (4 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.1.3.2

$\cos (4 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos^{1} (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.1.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 {\cos (4 x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.1.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.2

$4 \cos^{2} (4 x)$ ले जाएं.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.3

$4 \sin^{2} (4 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.4

$4 \cos^{2} (4 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.5

$4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x) + \cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.6

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.3.7

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.4

$4 - 4 \cos (4 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (1) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.4.2

$- 4 \cos (4 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (1) + 4 (- \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

चरण 11.4.3

$4 (1) + 4 (- \cos (4 x))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (1 - \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$