कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} - 4 x y + \arctan (x) = 4$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 4 x y + \arctan (x)) = \frac{d}{d x} (4)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} - 4 x y + \arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 x y$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$2 y y' - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 y y' - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.3.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

चरण 2.4

$x$ के संबंध में $\arctan (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + x^{2}}$ है.

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 y y' - 4 (x y') - 4 y + \frac{1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$2 y y'$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ से गुणा करें.

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2.3

$- 4 x y'$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ से गुणा करें.

$- 4 y - 4 x y' \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2.4

$- 4 x y'$ और $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2.6

$- 4 y$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ से गुणा करें.

$- 4 y \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2.7

$- 4 y$ और $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

चरण 2.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1}$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1} = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2

$y'$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 y \cdot 1 - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.4

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.5.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x)) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.5.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x^{1})) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{2 + 1}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{3}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y \cdot 1 + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

चरण 5.2.1.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 0$

चरण 5.2.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4 y$ जोड़ें.

$- 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y$

चरण 5.2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4 y x^{2}$ जोड़ें.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y + 4 y x^{2}$

चरण 5.2.2.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.3

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$- 4 x y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (- 2 x) - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.3.2

$- 4 x^{3} y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.3.3

$2 y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.3.4

$2 y x^{2} y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.3.5

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3})$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.3.6

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.3.7

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2})$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.4

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 y' ((- 2 x - 2 x^{3}) + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.4.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 y' (2 x (- 1 - x^{2}) - y (- 1 - 1 x^{2})) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

महत्तम समापवर्तक, $- 1 - x^{2}$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 y' ((- 1 - x^{2}) (2 x - y)) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

चरण 5.2.6

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ के प्रत्येक पद को $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ के प्रत्येक पद को $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.2.2

$- 1 - x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.2.3

$2 x - y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1.1

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1.1.1

$4 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1.1.2.1

$2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1.2.1

$4 y x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1.2.2.1

$2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 5.2.6.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$