कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

चरण 3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

चरण 4

मान लीजिए $u = y + 2$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = y + 2$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$y + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 4.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2

$y$ के लिए $u = y + 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 1 + 2$

चरण 4.3

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 4.4

$y$ के लिए $u = y + 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 0 + 2$

चरण 4.5

$0$ और $2$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

चरण 5

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$0$ पर और $- 1$ पर $\frac{1}{2} y^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

चरण 7.2

$2$ पर और $1$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.2

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.5

$0$ में से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.6

$\frac{2}{3}$ और $2^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.7

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.7.1

$2$ को $2^{\frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.7.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.7.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.7.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.7.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.7.4

$2$ और $3$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

चरण 7.3.8

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

चरण 7.3.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

चरण 7.3.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

चरण 7.3.11

$- \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

चरण 7.3.12

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 7.3.13

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.13.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 7.3.13.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 7.3.13.3

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

चरण 7.3.13.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

चरण 7.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

चरण 7.3.15

$2$ को $2^{\frac{5}{2}} - 2$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

चरण 8.2

$2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

चरण 8.3

$- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

चरण 8.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 9.2

$- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 9.2.2

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 9.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 9.2.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 9.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 9.2.6

$2$ और $5$ जोड़ें.

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

चरण 9.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

चरण 9.4

$3$ और $4$ जोड़ें.

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

दशमलव रूप:

$0.71895141 \dots$

चरण 11