कैलकुलस उदाहरण

$2 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

चरण 2.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

चरण 3

$\sin^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

चरण 4

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (t)$ को $1 - \cos^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

चरण 5

मान लीजिए $u = \cos (t)$ .फिर $d u = - \sin (t) d t$ , तो $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = \cos (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\cos (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

चरण 5.1.2

$t$ के संबंध में $\cos (t)$ का व्युत्पन्न $- \sin (t)$ है.

$- \sin (t)$

चरण 5.2

$t$ के लिए $u = \cos (t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (0)$

चरण 5.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$t$ के लिए $u = \cos (t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

चरण 5.5

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{upper} = 0$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

चरण 6

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ गुणा करें.

$2 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1 u^{2}$ को $- u^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 7.2

घातांक जोड़कर $u^{2}$ को $u^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 7.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$2 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

चरण 11

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

चरण 13

$\frac{1}{5}$ और $u^{5}$ को मिलाएं.

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

चरण 14

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$0$ पर और $1$ पर $\frac{u^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$2 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

चरण 14.2

$0$ पर और $1$ पर $\frac{u^{5}}{5}$ का मान ज्ञात करें.

$2 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.2

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$2 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.4

$0$ में से $\frac{1}{3}$ घटाएं.

$2 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.6

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.7

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.8

$0$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.8.1

$0$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.8.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.8.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

चरण 14.3.9

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

चरण 14.3.10

$0$ में से $\frac{1}{5}$ घटाएं.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

चरण 14.3.11

$\frac{1}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

चरण 14.3.12

$- \frac{1}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 14.3.13

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.13.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 14.3.13.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$2 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

चरण 14.3.13.3

$\frac{1}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

चरण 14.3.13.4

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

चरण 14.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{5 - 3}{15}$

चरण 14.3.15

$5$ में से $3$ घटाएं.

$2 (\frac{2}{15})$

चरण 14.3.16

$2$ और $\frac{2}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 2}{15}$

चरण 14.3.17

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{15}$

चरण 15

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{4}{15}$

दशमलव रूप:

$0.2\overline{6}$

चरण 16