कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

चरण 1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

चरण 2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

फिर से लिखें.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

चरण 3.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

चरण 3.3

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

चरण 3.4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

चरण 3.5

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 3.5.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 3.5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 3.5.2

$x$ के लिए $u = - x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0$

चरण 3.5.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.5.4

$x$ के लिए $u = - x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - t$

चरण 3.5.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

चरण 3.5.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

चरण 3.6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

चरण 3.7.2

$\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

चरण 3.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

चरण 3.9

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1.1

$- t$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

चरण 3.9.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

चरण 3.9.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

चरण 3.9.2

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 3.10

चूँकि घातांक $- t$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{- t}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

चरण 3.11

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

चरण 3.11.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.1

$0$ में से $1 \cdot 1$ घटाएं.

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

चरण 3.11.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.2.1

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

चरण 3.11.2.2.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

चरण 3.11.2.2.3

$- (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.2.2.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

चरण 3.11.2.2.3.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$