कैलकुलस उदाहरण

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\frac{π}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

चरण 1.1.2

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ के रूप में सेट करें.

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ से बदलें.

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ है.

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

चरण 1.3.3

चूंकि $\frac{π}{4}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{π x}{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

चरण 1.3.5

$\frac{π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

चरण 1.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

चरण 1.3.7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.1

$\frac{π}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

चरण 1.3.7.2

$\frac{π}{4}$ और $- 8$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 1.3.7.3

$\frac{π \cdot - 8}{4}$ और $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

चरण 1.3.7.4

$- 8$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

चरण 1.3.7.5

$- 8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.5.1

$- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

चरण 1.3.7.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.5.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

चरण 1.3.7.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

चरण 1.3.7.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

चरण 1.3.7.5.2.4

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 2 π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ का व्युत्पन्न $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ है.

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

चरण 2.3.2

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

चरण 2.3.3

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

चरण 2.3.4

$\frac{π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{π}{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{π}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

चरण 2.3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{π}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

चरण 2.3.6.2

$\frac{π}{4}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

चरण 2.3.6.3

$\frac{π \cdot - 2}{4}$ और $π$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 2.4

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 2.5

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

चरण 2.8

$\frac{- 2 π^{2}}{4}$ और $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

चरण 2.9

$- 2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

$- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

चरण 2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

चरण 2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

चरण 2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

चरण 4

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 2 π$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 2 π$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

चरण 4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

चरण 4.2.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

चरण 4.2.2.2

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ और $- 2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

चरण 4.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

$- 2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

चरण 4.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

चरण 4.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

चरण 4.3.2

$0$ को $- π$ से विभाजित करें.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

चरण 5

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

चरण 7

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

चरण 8

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{4}{π}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9.1.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.2.1

$π x$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 9.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{2}{π} π$

चरण 9.2.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2}{π} π$

चरण 9.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2$

चरण 10

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

चरण 11

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$π$ में से $0$ घटाएं.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

चरण 11.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{π}{2}$ जोड़ें.

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

चरण 11.2.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

चरण 11.2.3

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

चरण 11.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

चरण 11.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.5.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

चरण 11.2.5.2

$2 π$ और $π$ जोड़ें.

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

चरण 11.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{4}{π}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1.1.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4.1.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4.1.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1.1.2.1

$π x$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

चरण 11.4.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

चरण 11.4.2.1.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.2.1.2.1

$3 π$ में से $π$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

चरण 11.4.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

चरण 11.4.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 \cdot 3$

चरण 11.4.2.1.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = 6$

चरण 12

समीकरण का हल $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ .

$x = 2, 6$

चरण 13

$x = 2$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 14

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$π (2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 14.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 14.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 14.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 14.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

चरण 14.2.2

$π$ में से $π$ घटाएं.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

चरण 14.2.3

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

चरण 14.2.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

चरण 14.3

$π^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{π^{2}}{2}$

चरण 15

$x = 2$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 2$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 16

$x = 2$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

चरण 16.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

चरण 16.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

चरण 16.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 16.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

चरण 16.2.3

$π$ में से $π$ घटाएं.

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

चरण 16.2.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$f (2) = 8 \cos (0)$

चरण 16.2.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (2) = 8 \cdot 1$

चरण 16.2.6

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$f (2) = 8$

चरण 16.2.7

अंतिम उत्तर $8$ है.

$y = 8$

चरण 17

$x = 6$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 18

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$6$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.1

$π (6)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 18.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 18.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 18.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

चरण 18.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

चरण 18.2.2

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

चरण 18.2.3

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

चरण 18.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

चरण 18.2.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

चरण 18.2.5

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

चरण 18.2.6

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

चरण 18.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

चरण 18.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

$- 1$ को $π^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

चरण 18.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{π^{2}}{2}$

चरण 18.4

$- - \frac{π^{2}}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{π^{2}}{2}$

चरण 18.4.2

$\frac{π^{2}}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π^{2}}{2}$

चरण 19

$x = 6$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 6$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 20

$x = 6$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

व्यंजक में चर $x$ को $6$ से बदलें.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

चरण 20.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

चरण 20.2.1.1.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

चरण 20.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

चरण 20.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

चरण 20.2.1.2

$\frac{π}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 20.2.1.3

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

चरण 20.2.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

चरण 20.2.2.2

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

चरण 20.2.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

चरण 20.2.2.3.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (6) = 8 \cos (π)$

चरण 20.2.3

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

चरण 20.2.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

चरण 20.2.5

$8 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.5.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (6) = 8 \cdot - 1$

चरण 20.2.5.2

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (6) = - 8$

चरण 20.2.6

अंतिम उत्तर $- 8$ है.

$y = - 8$

चरण 21

ये $f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(2, 8)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(6, - 8)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 22