कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{n} {(a + b x)}^{m}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{n}$ और $g (x) = {(a + b x)}^{m}$ है.

$x^{n} \frac{d}{d x} [{(a + b x)}^{m}] + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{m}$ और $g (x) = a + b x$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $a + b x$ के रूप में सेट करें.

$x^{n} (\frac{d}{d u} [u^{m}] \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = m$ है.

$x^{n} (m u^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $a + b x$ से बदलें.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a + b x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ है.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (0 + \frac{d}{d x} [b x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [b x]$ जोड़ें.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 3.4

चूंकि $b$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $b x$ का व्युत्पन्न $b \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \frac{d}{d x} [x])) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} (b \cdot 1)) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 3.6

$b$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

चरण 3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = n$ है.

$x^{n} (m {(a + b x)}^{m - 1} b) + {(a + b x)}^{m} (n x^{n - 1})$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$

चरण 4.2

गुणनखंडों को $x^{n} b m {(a + b x)}^{m - 1} + x^{n - 1} n {(a + b x)}^{m}$ में पुन: क्रमित करें.

$b m x^{n} {(a + b x)}^{m - 1} + n x^{n - 1} {(a + b x)}^{m}$