कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \cos (2 t)$ .फिर $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \cos (2 t)$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\cos (2 t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

चरण 1.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

चरण 1.1.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (2 t)$

चरण 1.2

$t$ के लिए $u_{2} = \cos (2 t)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

चरण 1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

चरण 1.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

चरण 1.3.2

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 1.4

$t$ के लिए $u_{2} = \cos (2 t)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

चरण 1.5.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \cos (π)$

चरण 1.5.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$u_{upper} = - \cos (0)$

चरण 1.5.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

चरण 1.5.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

चरण 1.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 3

$(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ गुणा करें.

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 4.2

$- 1 (\frac{1}{2})$ को $- (\frac{1}{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 4.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 4.4

$u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 4.5

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

चरण 9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1$ पर और $0$ पर $- \frac{1}{2} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

चरण 9.2

$- 1$ पर और $0$ पर $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 9.3.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 9.3.3

$\frac{1}{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 9.3.4

$\frac{1}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 9.3.5

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 9.3.6

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 9.3.7

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

चरण 9.3.8

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

चरण 9.3.9

$0$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

चरण 9.3.10

$\frac{1}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 9.3.11

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

चरण 9.3.12

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

चरण 9.3.13

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

चरण 9.3.14

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.14.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

चरण 9.3.14.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

चरण 9.3.15

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 + 1}{4}$

चरण 9.3.16

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3}{4}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{3}{4}$

दशमलव रूप:

$0.75$