कैलकुलस उदाहरण

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $- 3$ बटे $x$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 4

चूंकि $- \cot (x)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (x)$ है, $\csc^{2} (x)$ का समाकलन $- \cot (x)$ है.

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 5

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = \csc (2 x)$ .फिर $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = \csc (2 x)$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\csc (2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

चरण 6.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \csc (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\csc (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ है.

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

चरण 6.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.4.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

चरण 6.1.3.4.2

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

चरण 9.2.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

चरण 9.2.3

$- 4$ और $\frac{u_{2}}{2}$ को मिलाएं.

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

चरण 9.2.4

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.4.1

$- 4 u_{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

चरण 9.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

चरण 9.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

चरण 9.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

चरण 9.2.4.2.4

$- 2 u_{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

चरण 10

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\csc (2 x)$ से बदलें.

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$