कैलकुलस उदाहरण

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = x$ और $g (y) = y$ है.

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

चरण 2.3.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

चरण 2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{x y} (x + y x')$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

चरण 2.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{4 x} - e^{5 y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ है.

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

चरण 3.2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

चरण 3.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

चरण 3.2.2

चूंकि $4$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d y} [x]$ है.

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- e^{5 y}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ है.

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

चरण 3.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = 5 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $5 y$ के रूप में सेट करें.

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

चरण 3.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

चरण 3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $5 y$ से बदलें.

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

चरण 3.3.3

चूंकि $5$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $5 y$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

चरण 3.3.4

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

चरण 3.3.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

चरण 3.3.6

$5$ को $e^{5 y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

चरण 3.3.7

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

चरण 3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

चरण 5

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ में पुन: क्रमित करें.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

चरण 5.2

गुणनखंडों को $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ में पुन: क्रमित करें.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x' e^{4 x}$ घटाएं.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

चरण 5.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $x e^{x y}$ घटाएं.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

चरण 5.5

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$y x' e^{x y}$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

चरण 5.5.2

$- 4 x' e^{4 x}$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

चरण 5.5.3

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ में से $x'$ का गुणनखंड करें.

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

चरण 5.6

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ के प्रत्येक पद को $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ के प्रत्येक पद को $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.2.1.2

$x'$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.3.2

$- 5 e^{5 y}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.3.3

$- x e^{x y}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.3.4

$- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.5.1

$- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ को $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ के रूप में फिर से लिखें.

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 5.6.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

चरण 6

$x'$ को $\frac{d x}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$