कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sec^{2} (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

चरण 2

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (x) |)$ है.

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

चरण 3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $x \tan (x)$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

चरण 3.1.2

$\frac{π}{4}$ पर और $0$ पर $\ln (| \sec (x) |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

चरण 3.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$\frac{π}{4}$ और $\tan (\frac{π}{4})$ को मिलाएं.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

चरण 3.1.3.2

$0$ को $\tan (0)$ से गुणा करें.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

चरण 3.1.3.3

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

चरण 3.1.3.4

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

चरण 3.1.3.5

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

चरण 3.1.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

चरण 3.1.3.7

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

चरण 3.2.2

$\sec (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\frac{2}{\sqrt{2}}$ है.

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

चरण 3.2.3

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

चरण 3.2.4

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

चरण 3.2.5

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.2.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ लगभग $1.41421356$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

चरण 3.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

चरण 4

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

दशमलव रूप:

$0.43882457 \dots$