कैलकुलस उदाहरण

$\int x \cos (4 π x^{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 4 π x^{2}$ .फिर $d u = 8 \cdot x π d x$ , तो $\frac{1}{8 π} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 4 π x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$4 π x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 π x^{2}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $4 π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 π x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 π (2 x)$

चरण 1.1.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 π x$

चरण 1.1.5

$8 π$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$x (8 π)$

चरण 1.1.6

$x$ और $8$ को पुन: क्रमित करें.

$8 \cdot x π$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \cos (u) \frac{1}{8 π} d u$

चरण 2

$\cos (u)$ और $\frac{1}{8 π}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cos (u)}{8 π} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{8 π}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8 π}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{8 π} \int \cos (u) d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{8 π} (\sin (u) + C)$

चरण 5

सरल करें.

$\frac{1}{8 π} \sin (u) + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $4 π x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{8 π} \sin (4 π x^{2}) + C$