कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

जैसे-जैसे $x$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.2.1.2

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.2.1.3

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$\frac{1 - \sec (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.2.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1 - \sec (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.1

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.2.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

चरण 1.1.3.1.2

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

चरण 1.1.3.1.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.3.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0}{1 - 1}$

चरण 1.1.3.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.3.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - \sec (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

चरण 1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

चरण 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sec (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

चरण 1.3.4.2

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

चरण 1.3.5

$0$ में से $\sec (x) \tan (x)$ घटाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

चरण 1.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\cos (x) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 1.3.7

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 1.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + 0}$

चरण 1.3.9

$- \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x)}$

चरण 1.4

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)}$

चरण 2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2.2

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2.3

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2.4

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2.4.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.5.1

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2.5.2

$\tan (0)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.2.5.3

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

चरण 2.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 2.1.3.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{\sin (0)}$

चरण 2.1.3.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.3.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sec (x)$ और $g (x) = \tan (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.3

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.4

घातांक जोड़कर $\sec (x)$ को $\sec^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$\sec (x)$ को $\sec^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.4.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.5

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.6

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.7

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

चरण 2.3.11

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\cos (x)}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.2

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.3

जैसे ही $x$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.4

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $\tan^{2} (x)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.5

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.6

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.7

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $\sec^{3} (x)$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.8

सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

चरण 3.9

त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 4

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 4.2

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 4.3

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

चरण 4.4

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

चरण 5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

चरण 5.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

चरण 5.1.3

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

चरण 5.1.4

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{0 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

चरण 5.1.5

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{0 + 1^{3}}{\cos (0)}$

चरण 5.1.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{0 + 1}{\cos (0)}$

चरण 5.1.7

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{\cos (0)}$

चरण 5.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{1}{1}$

चरण 5.3

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1}$

चरण 5.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$