कैलकुलस उदाहरण

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 4 y^{2} - x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 y^{2}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 3.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 3.2.4

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

चरण 3.3.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

चरण 3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8 y y'$ जोड़ें.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x$ जोड़ें.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.3

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$6 y^{2} y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.3.2

$2 y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.3.3

$8 y y'$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.3.4

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.3.5

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ में से $2 y'$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.1.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ है और जिसका योग $b = 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.2.1

$4 y$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.1.2.2

$4$ को $1$ जोड़ $3$ के रूप में फिर से लिखें

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.1.2.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.1.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.1.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.1.4

महत्तम समापवर्तक, $3 y + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

चरण 5.5

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ के प्रत्येक पद को $2 (3 y + 1) (y + 1)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ के प्रत्येक पद को $2 (3 y + 1) (y + 1)$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.2.2

$3 y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.2.3

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.3.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 5.5.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$