कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{3} \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \cos (6 x) d x + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = 6 x$ .फिर $d u_{1} = 6 d x$ , तो $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = 6 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$6 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$6$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 6

$\cos (u_{1})$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{6} d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{6}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{6}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{6}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 8.2

$6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{18} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 9

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{1})$ है.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \int - 4 \sin (4 x) d x$

चरण 10

चूँकि $- 4$ बटे $x$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (4 x) d x$

चरण 11

मान लीजिए $u_{2} = 4 x$ .फिर $d u_{2} = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u_{2} = 4 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 11.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.1.3

$4 \cdot 1$

चरण 11.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 11.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

चरण 12

$\sin (u_{2})$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{4}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14.2

$- 4$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) + \frac{- 1}{1} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 14.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 15

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$\frac{1}{18} (\sin (u_{1}) + C) - (- \cos (u_{2}) + C)$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

सरल करें.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) - - \cos (u_{2}) + C$

चरण 16.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + 1 \cos (u_{2}) + C$

चरण 16.2.2

$\cos (u_{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{18} \sin (u_{1}) + \cos (u_{2}) + C$

चरण 17

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $6 x$ से बदलें.

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (u_{2}) + C$

चरण 17.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$

चरण 18

उत्तर फलन $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \cos (6 x) - 4 \sin (4 x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{18} \sin (6 x) + \cos (4 x) + C$