कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to - 1} \frac{{(2 x + 3)}^{2} - 1}{x^{2} + x}$

चरण 1

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to - 1} {(2 x + 3)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

जैसे-जैसे $x$ $- 1$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - 1} {(2 x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.1.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को ${(2 x + 3)}^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} 2 x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.1.3

$\frac{{(lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.1.4

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.1.5

$3$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- 1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + 3)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.1.6

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- 1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{{(2 lim_{x \to - 1} x + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.2

$x$ के लिए $- 1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{{(2 \cdot - 1 + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(- 2 + 3)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.3.1.2

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.3.1.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.3.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.2.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

चरण 1.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

चरण 1.1.3.2

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $2$ को $x^{2}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

चरण 1.1.3.3

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $- 1$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

$x$ के लिए $- 1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

चरण 1.1.3.3.2

$x$ के लिए $- 1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

चरण 1.1.3.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.4.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{0}{1 - 1}$

चरण 1.1.3.4.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.4.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.3.5

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{0}{0}$

चरण 1.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to - 1} \frac{{(2 x + 3)}^{2} - 1}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.2

${(2 x + 3)}^{2}$ को $(2 x + 3) (2 x + 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 3) (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x + 3) (2 x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4.1.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4.1.5

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4.1.6

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.4.2

$6 x$ और $6 x$ जोड़ें.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 12 x + 9 - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.6

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.6.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.7

$\frac{d}{d x} [12 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 x$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.7.3

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.10

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.10.1

$8 x + 12$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.10.2

$8 x + 12$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

चरण 1.3.11

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.12

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

चरण 1.3.13

$lim_{x \to - 1} \frac{8 x + 12}{2 x + 1}$

चरण 2

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

जैसे ही $x$ $- 1$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - 1} 8 x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

चरण 2.2

$\frac{lim_{x \to - 1} 8 x + lim_{x \to - 1} 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

चरण 2.3

$8$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

चरण 2.4

$12$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- 1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

चरण 2.5

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

चरण 2.6

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

चरण 2.7

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- 1$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{8 lim_{x \to - 1} x + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

चरण 3

$x$ की सभी घटनाओं के लिए $- 1$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ के लिए $- 1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{8 \cdot - 1 + 12}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

चरण 3.2

$x$ के लिए $- 1$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{8 \cdot - 1 + 12}{2 \cdot - 1 + 1}$

चरण 4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 8 + 12}{2 \cdot - 1 + 1}$

चरण 4.1.2

$- 8$ और $12$ जोड़ें.

$\frac{4}{2 \cdot - 1 + 1}$

चरण 4.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{- 2 + 1}$

चरण 4.2.2

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{4}{- 1}$

चरण 4.3

$4$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$- 4$