कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{2 + 2 x} {(x^{2} + 1)}^{3}$

चरण 1

$\sqrt{2 + 2 x}$ को ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{3}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ है.

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3$ को ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.5.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 2 + 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 + 2 x$ के रूप में सेट करें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 + 2 x$ से बदलें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 10.2

$\frac{1}{2}$ और ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{{(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 10.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(2 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x])$

चरण 10.4

$\frac{1}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ और ${(x^{2} + 1)}^{3}$ को मिलाएं.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

चरण 11

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 12

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 13

$0$ और $\frac{d}{d x} [2 x]$ जोड़ें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 14

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 15

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$2$ और $\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 15.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{3}}{2 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 15.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 16

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

चरण 17

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18

$6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20

घातांक जोड़कर ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

${(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{6 ({(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21

$6 {(2 + 2 x)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{2} x$ को सरल करें.

$\frac{6 (2 + 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(6 \cdot 2 + 6 (2 x)) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.2.1

$(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{3}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.2.1.1

$(6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) {(x^{2} + 1)}^{2} x$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.1.2

${(x^{2} + 1)}^{3}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.1.3

${(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x) + {(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((6 \cdot 2 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.2.2.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 6 \cdot 2 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.2.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((12 + 12 x) x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x \cdot x + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.2.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 (x \cdot x) + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 12 x^{2} + x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.5

$12 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x + 13 x^{2} + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (13 x^{2} + 12 x + 1)}{{(2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$