कैलकुलस उदाहरण

$\int_{3}^{5} \frac{2 x^{2} + x + 4}{x - 1} d x$

चरण 1

$2 x^{2} + x + 4$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$2 x^{2}$

$x$

$4$

चरण 1.2

भाज्य $2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$2 x$
	$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{2} - 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$

चरण 1.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

चरण 1.7

भाज्य $3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$

चरण 1.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					+	$3 x$	-	$3$

चरण 1.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x - 3$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$

चरण 1.10

				$2 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{2}$	+	$x$	+	$4$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x$	+	$4$
					-	$3 x$	+	$3$
							+	$7$

चरण 1.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int_{3}^{5} 2 x + 3 + \frac{7}{x - 1} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 3 d x + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} \frac{7}{x - 1} d x$

चरण 7

चूँकि $7$ बटे $x$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u = x - 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 8.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 8.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 8.2

$x$ के लिए $u = x - 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 - 1$

चरण 8.3

$3$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = 2$

चरण 8.4

$x$ के लिए $u = x - 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 5 - 1$

चरण 8.5

$5$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 4$

चरण 8.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

चरण 8.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 \int_{2}^{4} \frac{1}{u} d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$5$ पर और $3$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{3^{2}}{2}) + 3 x]_{3}^{5} + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

चरण 10.2

$5$ पर और $3$ पर $3 x$ का मान ज्ञात करें.

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 (\ln (| u |)]_{2}^{4})$

चरण 10.3

$4$ पर और $2$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.4

$25$ में से $9$ घटाएं.

$2 (\frac{16}{2}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.5

$16$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.5.1

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.5.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (\frac{8}{1}) + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.5.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \cdot 8 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.6

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 + 3 \cdot 5 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.7

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$16 + 15 - 3 \cdot 3 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.8

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$16 + 15 - 9 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.9

$15$ में से $9$ घटाएं.

$16 + 6 + 7 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |))$

चरण 10.4.10

$16$ और $6$ जोड़ें.

$22 + 7 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |))$

चरण 11

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$22 + 7 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |})$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $4$ के बीच की दूरी $4$ है.

$22 + 7 \ln (\frac{4}{| 2 |})$

चरण 12.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$22 + 7 \ln (\frac{4}{2})$

चरण 12.3

$4$ को $2$ से विभाजित करें.

$22 + 7 \ln (2)$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$22 + 7 \ln (2)$

दशमलव रूप:

$26.85203026 \dots$

चरण 14