कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{\sqrt{2 x}}{x} d x + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sqrt{u}}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{u}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int \sqrt{u} \frac{2}{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.1.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{2}{u}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 2}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.1.3

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{2 \cdot \sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.1.4

$\frac{2 \sqrt{u}}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{u \cdot 2} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.1.5

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 \cdot u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{2 u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sqrt{u}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.3.2

घातांक जोड़कर $u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.3.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.3.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.3.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.3.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.4.2

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.4.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 5.4.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int \frac{3}{x^{5}} d x$

चरण 7

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

चरण 8

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x^{5}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

चरण 8.2

घातांक को ${(x^{5})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

चरण 8.2.2

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 \int x^{- 5} d x$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 5}$ का समाकलन $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ है.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$x^{- 4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

चरण 10.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 4}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 u^{\frac{1}{2}} + C + 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

चरण 10.2

सरल करें.

$2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + C$

चरण 10.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$

चरण 12

उत्तर फलन $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{x} + \frac{3}{x^{5}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{4 x^{4}} + C$