कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x e^{2 x}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x e^{2 x} d x$

चरण 3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 4.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

चरण 6

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 6.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 6.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 7

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

चरण 9

सरल करें.

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चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

चरण 9.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

चरण 10

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

चरण 11

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ को $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

चरण 13

उत्तर फलन $f (x) = x e^{2 x}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$