कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\tan (x)}}$

चरण 1

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\tan (x)$ को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

चरण 1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

चरण 1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ को $\cot (x)$ में बदलें.

$lim_{x \to 0} {(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$

चरण 2

सीमा को सरल करने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${(e^{x} - x)}^{\cot (x)}$ को $e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})}$

चरण 2.2

$\cot (x)$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(e^{x} - x)}^{\cot (x)})$ का प्रसार करें.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

चरण 3

सीमा को घातांक में ले जाएँ.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (e^{x} - x)}$

चरण 4

बाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

चरण 5

फलन $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ बाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ - 0.1 & - 0.04809658 \\ - 0.01 & - 0.00498308 \\ - 0.001 & - 0.00049983 \\ - 0.0001 & - 0.00004999 \end{array}$

चरण 6

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के बाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$0$

चरण 7

दाईं ओर की सीमा पर विचार करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (e^{x} - x)$

चरण 8

फलन $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ के व्यवहार को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएंं क्योंकि $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर आ रहा है.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (e^{x} - x) \\ 0.1 & 0.05140391 \\ 0.01 & 0.00501641 \\ 0.001 & 0.00050016 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

चरण 9

$x$ का मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं, फलन मान $0$ की ओर एप्रोच करती हैं. इस प्रकार, $\cot (x) \ln (e^{x} - x)$ का लिमिट $x$ के रूप में $0$ के दाईं ओर से ओर एप्रोच करती है $0$ है.

$e^{0}$

चरण 10

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$1$