कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{x} \cdot \ln (x)$

चरण 1

$\sqrt{x} \cdot \ln (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sqrt{x} \cdot \ln (x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sqrt{x} \cdot \ln (x) d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = \sqrt{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

चरण 5.2

$\ln (x)$ और $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

चरण 6

चूँकि $\frac{2}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

चरण 7.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{1}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

चरण 7.3

घातांक जोड़कर $x^{\frac{3}{2}}$ को $x^{- 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

चरण 7.3.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

चरण 7.3.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

चरण 7.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

चरण 7.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

चरण 7.3.5.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{2}{3}$ और $\ln (x)$ को मिलाएं.

$\frac{2 \ln (x)}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.2.2

$\frac{2 \ln (x)}{3}$ और $x^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.2.3

$\frac{2}{3}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 9.2.5

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

$\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 10

उत्तर फलन $f (x) = \sqrt{x} \cdot \ln (x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$