कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ .फिर $d u_{2} = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ , तो $- d u_{2} = \frac{- \cos (\frac{x}{2})}{2} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = \sin (\frac{x}{2})$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$\sin (\frac{x}{2})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{x}{2}$ है.

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चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.1.3.2

$\frac{1}{2}$ और $\cos (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

चरण 1.1.3.4

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{2}{1} u_{2} d u_{2}$

चरण 2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

चरण 5.2.3

${u_{2}}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

${u_{2}}^{2} + C$

चरण 6

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) + C$

चरण 7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\sin^{2} (\frac{1}{2} x) + C$