कैलकुलस उदाहरण

$\ln (1 - x)$

चरण 1

$\ln (1 - x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \ln (1 - x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (1 - x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

चरण 5

$x$ और $\frac{1}{1 - x}$ को मिलाएं.

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 7.1.2

$\int \frac{x}{1 - x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 7.2

$1$ और $- x$ को पुन: क्रमित करें.

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

चरण 8

$x$ को $- x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$0$

चरण 8.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $- x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

चरण 8.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

चरण 8.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

चरण 8.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

चरण 8.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 11

मान लीजिए $u = - x + 1$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u = - x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1}$

चरण 11.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 11.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

चरण 12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 14

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

चरण 15

सरल करें.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

चरण 16

$u$ की सभी घटनाओं को $- x + 1$ से बदलें.

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

चरण 17

उत्तर फलन $f (x) = \ln (1 - x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$